Was ist das Ergebnis, wenn man die Zahlen von 1 bis 100 addiert? Das klingt knifflig, ist es aber eigentlich gar nicht. Für diese Rechenaufgabe gibt es einen einfachen Trick – und sogar einen eigenen Namen: Die Gaußsche Summenformel, benannt nach dem berühmten deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß. Wir zeigen in diesem Ratgeber, wie ihr die Zahlen von 1 bis 100 richtig addiert und wie die Gaußsche Summenformel funktioniert.
Wer sich die Kopfarbeit ersparen will, findet im Netz auch verschiedene Rechner, die einem die Summe der natürlichen Zahlen bis zu einer Obergrenze ausgeben.
Gaußsche Summenformel – Zahlen von 1 bis 100 addiert: Was ergibt das?
Im Internet und vor allem auf sozialen Netzwerken wie Facebook werden immer wieder Denksportaufgaben und Rätsel gepostet, die schon so machen User zur Verzweiflung getrieben haben. Immer wieder sorgt etwa das Facebook-Rätsel mit der 3 für rauchende Köpfe. Eine weiteres beliebte Aufgabe verbirgt sich hinter dem etwas sperrigen Namen „Gaußsche Summenformel“, auch „Kleiner Gauß“ genannt. Die Aufgabe lautet wie folgt: Was ist das Ergebnis, wenn man die Zahlen von 1 bis 100 addiert? Auch in der beliebten Quiz-Show „Wer wird Millionär“ scheiterte eine Kandidatin kürzlich an dieser Frage. Bei der Frage geht es darum, alle Werte bis zu einem vorgebenen „n“-Wert zu addieren, also zum Beispiel „1+2+3+4+5+... + 100“. Wisst ihr die Lösung?
Natürlich könnte man jetzt anfangen alle Zahlen der Reihe nach zu addieren, also nach dem Motto „1+2+3+4 usw.“. Das würde natürlich viel zu lange dauern und wäre auch ziemlich aufwendig. Genau deswegen geben viele Leute auch direkt auf. In Wirklichkeit gibt es aber einen einfachen Trick mit dem man sich die Berechnung erleichtern kann. Nur soviel schon mal vorweg: Wenn ihr die Zahlen von 1 bis 100 zusammenzählt, lautet das Ergebnis 5050.
So kommt ihr auf diese Zahl:
- Statt die Zahlen der Reihe nach zu addieren (1+2+3+4 usw) addiert ihr jeweils die erste und die letzte Zahl.
- Das sieht dann so aus: 100+1, 99+2, 98+3, usw. bis zur 50+51. Das Ergebnis ist in jedem Fall 101.
- Insgesamt kommt ihr damit auf 50 Zahlenpaare, die jeweils die Summe 101 ergeben.
- Um auf das Ergebnis zu kommen, müsst ihr dann also nur noch 50 x 101 multiplizieren. Das Ergebnis lautet 5050.
Das Ganze lässt sich natürlich für jede beliebige n-Zahl berechnen. Hieraus entwickelte Gauß die „Gaußsche Summenformel“. Die allgemeine Formel lautet (n × ( n + 1))/2. Ist „n“ wie im Beispiel oben gleich 100, ergibt sich also die Formel: (100*(100+1))/2. Das Ergebnis? Rechnet selbst! (Tipp: Es steht oben.)
Im Video lösen wir auch das beliebte Facebook-Rätsel mit der „3“:
Ziemlich clever das Ganze, oder? Natürlich ist dieser Trick schon seit langem bekannt. Der erste, der darauf kam, war der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauß. Nach ihm ist sie dann auch benannt und somit als Gaußsche Summenformel bekannt.
Gaußsche Summenformel: Das steckt dahinter
Der Überlieferung nach soll Gauß diese Formel bereits im zarten Alter von 9 Jahren erkannt haben. Um den Jungen ruhigzustellen, soll ihm sein damaliger Mathematik-Lehrer Büttner eine schwierige Aufgabe gestellt haben, von der er annahm, dass der junge Gauß sie erst nach langem Überlegen lösen könne. Die Geschichte ist durch den Freund und Kollegen von Gauß, Wolfgang Sartorius von Waltershausen, überliefert:
„Der junge Gauss war kaum in die Rechenclasse eingetreten, als Büttner die Summation einer arithmetischen Reihe aufgab. Die Aufgabe war indess kaum ausgesprochen als Gauss die Tafel mit den im niedern Braunschweiger Dialekt gesprochenen Worten auf den Tisch wirft: »Ligget se’.« (Da liegt sie.) Am Ende der Stunde wurden darauf die Rechentafeln umgekehrt; die von Gauss mit einer einzigen Zahl lag oben und als Büttner das Exempel prüfte, wurde das seinige zum Staunen aller Anwesenden als richtig befunden, während viele der übrigen falsch waren und alsbald mit der Karwatsche (Lederpeitsche) rectificirt (gezüchtigt) wurden.“
Ob Gauß genau die Zahlen von 1 bis 100 addieren musste, ist nicht bekannt. In jedem Fall erkannt der Lehrer das Talent des Jungen und förderte in der Folgezeit dessen seine ungewöhnliche mathematische Begabung. Die Gaußsche Summenformel wird manchmal auch als „kleiner Gauß“ bezeichnet.
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