Ihr könnt ein Gefälle berechnen, indem ihr die Werte der Strecke und Höhe in eine Formel packt. Dann bekommt ihr das Gefälle in Prozent. Wie das geht und wie ihr den Neigungswinkel ausrechnet, erklären wir euch hier.
Meist will man ein Gefälle berechnen, um einen Wert für die Neigung einer ansonsten bekannten Strecke zu bekommen. Man kennt den Höhenunterschied, weiß, wie lang die Strecke ist und berechnet daraus das Gefälle.
Für eine schnelle Erklärung des Gefälles, Bild für Bild, haben wir euch die Schritte in dieser Anleitung einzeln durchgeführt:
Gefälle in Prozent berechnen – Formel und Erklärung
Wie in der oben geführten Erklärung ersichtlich, braucht ihr die Länge der Strecke und den Höhenunterschied zwischen Anfang und Ende der Strecke, wenn ihr das Gefälle berechnen wollt. Es gibt das Gefälle (auch Relativ-Gefälle genannt) und das Prozent-Gefälle. Das sind zwei unterschiedliche Werte!
Achtet bei einer Aufgabenstellung also darauf, ob nach dem Gefälle in Grad oder dem Gefälle in Prozent gefragt wird!
Das Gefälle ist erstmal ein Wert ohne Einheit.
Folgendermaßen wird er berechnet:
Daraus ergibt sich beispielsweise bei einer Strecke von 2 km und einem Höhenunterschied von 450 m folgendes:
Die Kilometer werden in Meter umgerechnet und diese werden gegeneinander weggekürzt. Übrig bleibt eine Zahl ohne Einheit. Das ist also das berechnete Gefälle.
Um jetzt noch das Prozentgefälle zu berechnen, ist eine weitere Multiplikation nötig. Dabei wird das Gefälle mit 100 % multipliziert, wodurch der Wert auch wieder eine Einheit bekommt.
Also 0,225 x 100 % = 22,5 %
In diesem Fall beträgt das Gefälle 0,225 und das Prozentgefälle 22,5 %.
Vielleicht fällt das Verständnis dieser Berechnung leichter, wenn man sich vor Augen führt, was ein Gefälle überhaupt bedeutet. Wenn der Höhenunterschied bei einem Meter 3,5 cm beträgt, dann entspricht das 3,5 cm auf 100 cm. Daraus ergibt sich also ein Gefälle von 3,5 %. Beträgt der Höhenunterschied bei einer Strecke von 100 m genau 12 m, so ergibt sich daraus ein Gefälle von 12 %.
Wichtig: Ein Prozentgefälle kann größer als 100 % sein! Wenn etwa ein Baum leicht schief steht, dann ist die horizontale Strecke extrem kurz, während die Höhe groß ist.
Das Gefälle in Grad berechnen
Wenn ihr nach der obigen Methode das Gefälle berechnet, dann wisst ihr, dass ein Höhenunterschied von 450 m bei einer Strecke von 2 km ein Prozentgefälle von 22,5 % ergibt. Aber wie wird das als Winkel ausgedrückt? In dem Fall redet man von einem Neigungswinkel, im Gegensatz zur Steigung. Man macht das am besten mit einem Taschenrechner. Dazu benötigt ihr nämlich die Funktionen Tangens bzw. Arcustangens.
Zur Berechnung des Gefälle-Winkels benötigt ihr entweder
- das Gefälle (bzw. das Prozent-Gefälle)
- oder Strecke und Höhenunterschied (mit dem ihr dann das Gefälle zuerst berechnet).
Den Tangens findet ihr auf dem Taschenrechner meist als „tan“ beschriftet. Den Arcustangens als „tan⁻¹“ (Tangens hoch -1).
Die Formel zur Berechnung des Neigungswinkels in Grad lautet:
Neigungswinkel(°) = tan⁻¹(Höhe / Strecke)
In diesem Beispiel heißt das:
- Bei einem Höhenunterschied von 450 m wird eine horizontale Strecke von 2000 m zurückgelegt.
- Daraus ergibt sich ein Gefälle von 0,225. (Höhe / Strecke)
- Der Arcustangens des Gefälles ergibt den Neigungswinkel.
- In diesem Fall ergibt der Arcustangens von 0,225 den Winkel 12,68038349 – gerundet also einen Neigungswinkel von 12,7 °.
Falls ihr das Gefälle noch nicht kennt, müsst ihr es erst nach der oben erklärten Formel ausrechnen.
