Das Berechnen einer Kreisfläche macht deswegen vielen Schülern Probleme, weil sie mit unendlichen Werten arbeitet, die sich wiederum aus dem Kreisumfang und seinem Durchmesser ergeben. Wir wollen versuchen, euch etwas verständlicher zu machen, wie einfach man eine Kreisfläche mit der richtigen Formel berechnen kann.
Das Problem bei der Kreisflächenberechnung heißt Pi, auch genannt die Kreiszahl. Sie ergibt sich aus dem Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Es handelt sich um eine noch nicht endgültig berechnete Zahl mit unendlichen Nachkommastellen. Dementsprechend kann jede Berechnung der Kreisfläche nur eine Annäherung sein. Pi ist aber ein nötiger Bestandteil der Kreisflächenberechnung. Denn die Kreisfläche (A) ergibt sich aus dem Kreisradius (r) hoch zwei, multipliziert mit Pi.
A = r² * π
Kreisfläche berechnen: Annäherung an Pi
Die gerade genannte Formel muss man sich einfach mal merken. Und sicherlich ist bei einer Berechnung ohne Taschenrechner auch vertretbar, für Pi die bekannte Zahl 3,14 zu nutzen. Pi ergibt sich, wie schon festgestellt, aus dem Verhältnis zwischen dem Gesamtumfang eines Kreises und seinem Durchmesser. Das ist ein feststehender Wert.
Wenn ein Kreis einen Durchmesser von 1 hat (wobei nun die Einheiten wie Meter, Zentimeter oder Kilometer völlig unerheblich sind), dann ist der Umfang immer 3,14 mal so lang wie der Durchmesser.
Folgende Grafik soll das verdeutlichen:
Wenn wir den Kreis abrollen, dann ist die Länge des Umfangs ungefähr 3,14 mal so lang wie der Durchmesser dieses Kreises. Bis hierhin haben wir also schon mal Pi und das Verhältnis von Durchmesser bzw. Radius zum Umfang verstanden. (Nochmal zur Erinnerung: Der Durchmesser geht einmal ganz durch den Mittelpunkt des Kreises. Von einer Seite zur anderen Seite. Der Radius ist nur der halbe Durchmesser. Er geht vom Mittelpunkt bis zur Außenseite).
Kreisflächenberechnung: Das Rechteck aus dem Kreis
OK, wir haben zur Kreisflächenberechnung folgende Formel:
A = r² * π
Die Kreisfläche (A) ergibt sich aus Pi, multipliziert mit r², was r * r entspricht. Also ist A = Pi mal r mal r.
Man könnte also sagen, dass sich die Kreisfläche aus einem Rechteck ergibt, dass zwei Seitenlängen hat: Zum einen r und zum anderen r mal π. So ein Rechteck erhält man, wenn man einen Kreis in lauter kleine Tortenstücke zerschneidet und diese dann versetzt zueinander nebeneinanderlegt, wie auf folgendem Bild zu sehen:
Wie man sieht, ist es kein ganz sauberes Rechteck. Denn schließlich sind die Tortenstücke an der Kreisseite abgerundet. Aber es ergibt sich ein Näherungswert und mehr können wir ja dank der unendlichen Zahl Pi auch nicht erwarten.
Sehen wir uns dieses Rechteck an, dann sehen wir folgendes:
- Egal, wieviele Abschnitte man wählt, wird die lange Seite immer Pi mal r. entsprechen. Denn der Umfang ist immer 2πr
- Die kurze Seite entspricht immer dem Radius.
- Die Kreisfläche ergibt sich also aus π * r * r
Mit dieser Erklärung und den sich daraus ergebenden Formeln können wir bei einem gegebenen Radius oder Durchmesser jederzeit die Kreisfläche berechnen. Und wenn wir die Kreisfläche haben, können wir so den Durchmesser und den Umfang ermitteln.
